細野微分幾何 - 由々しき

有志でやっている微分幾何勉強会のメモである。教科書は、細野さんのやつ。

作者: 細野忍
出版社/メーカー: 朝倉書店
発売日: 2001/10/01
メディア: 単行本
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例題1.2 フレネー・セレの公式あたりから捩率あたりまで進んだ。

例題1.2では平面曲線上 $\Gamma$ のフレネー機構について成り立つ公式を示す。

平面曲線上 $\Gamma$ において局所座標系 $\mathrm{e_1}, \mathrm{e_2}$ の時間発展方程式みたいなものか。この局所座標系（正規直交基底）をフレネー標構とよぶ。これらが連立微分方程式となっている。フレネー・セレの公式を示し、曲率半径を導入する。

曲率は $\Gamma$ 上の局所座標に定義される。半径の逆数で定義されることを示す。半径の逆数であるから、物理でいうところの中心力ポテンシャルのアナロジーで解釈すると面白い。すなわち、半径が小さいところでの曲率（中心力ポテンシャル）は大きいみたいなノリ。

例題1.3は楕円上のフレネー機構（ $\mathrm{e_1}, \mathrm{e_2}$ ）と曲率 $\kappa$ を求める。基本的な方針は、 $ds/dt$ を計算し、 $\mathrm{e_1}(s)$ 、 $d \mathrm{e_1}(s)/ds$ をひたすら計算する。

ここまで、曲線 $\Gamma$ は2次元上の曲線だった。（平面曲線）

次に、3次元上の曲線 $\Gamma$ を考える。平面曲線に対して空間曲線という。

これにあわせてもフレネー・セレ標構も拡張されて、空間曲線版のフレネー・セレの公式が与えれれる（例題1.4）。ここで捩率なる概念が出てくる。これは平面曲線の曲率と本質的には同じ（だと思っている）（どういうことかというと、例題1.4の表式で言えば $e_1$ と $e_3$ が交換可能ということを言いたい。

例題1.5では、 $\Gamma:\mathrm{x}(t)=(a\cos(t), b\sin(t),bt)$ 上のフレネー標構と曲率、捩率を求める（ $\Gamma$ は円筒状を動く曲線）。

方針は平面曲線と同じだが、ある基底に関して3次元なので法線ベクトルが独立に2つ存在する。片方を主法線ベクトルを決めれば、従法線ベクトルはそれらの外積で定義される。

1.2平面および空間の曲線はここまで